Pegue uma lista grande de números do mundo real: população de cidades, valor de notas fiscais, comprimento de rios, cotação de ações. Olhe apenas o primeiro algarismo de cada um. A intuição diz que cada dígito de 1 a 9 deveria aparecer em cerca de onze por cento dos casos, já que são nove possibilidades. A realidade é outra: o 1 aparece em aproximadamente trinta por cento.
O astrônomo que reparou nas páginas sujas
A observação nasceu de um detalhe físico. Em 1881, o astrônomo Simon Newcomb notou que as primeiras páginas das tábuas de logaritmos da biblioteca, as que tratam de números começados em 1, estavam muito mais gastas e sujas que as últimas. Gente consultava números iniciados em 1 com mais frequência do que números iniciados em 9. Ele publicou a observação e ela foi esquecida por meio século.
Em 1938, o físico Frank Benford redescobriu o padrão e fez o que faltava: testou em vinte conjuntos de dados completamente diferentes, de áreas de rios a endereços de pessoas listadas numa revista, somando mais de vinte mil números. O padrão apareceu em quase todos. O nome ficou com ele.
A conta, que é simples
A proporção esperada para cada primeiro dígito é o logaritmo, na base dez, de um mais o inverso do dígito. Traduzindo para a prática, a escada desce sempre:
- 1 em cerca de 30,1% dos casos
- 2 em 17,6%
- 3 em 12,5%
- 4 em 9,7%
- 5 em 7,9%
- 6 em 6,7%
- 7 em 5,8%
- 8 em 5,1%
- 9 em 4,6%
Por que isso acontece
A explicação mais intuitiva é o crescimento. Uma grandeza que cresce em porcentagem passa muito mais tempo entre 100 e 200 do que entre 900 e 1000, porque sair de 100 para 200 exige dobrar, enquanto sair de 900 para 1000 exige pouco mais de dez por cento. Como a maior parte dos dados do mundo cresce assim, os números se acumulam na faixa de baixo de cada ordem de grandeza.
Por isso a lei vale para conjuntos que percorrem várias ordens de grandeza, e não vale para altura de pessoas, CEP, número de telefone ou qualquer coisa com limite estreito e formato fixo. Quem tenta aplicar onde não cabe chega a conclusão errada com ar de rigor.
Onde ela é usada de verdade
Em perícia contábil. Números inventados por pessoas tendem a distribuir os primeiros dígitos de forma uniforme demais, porque é assim que a gente imagina o acaso. Lançamentos fiscais fabricados, despesas infladas e resultados maquiados costumam se afastar da curva esperada, e esse afastamento acende a luz amarela para o auditor olhar mais de perto.
O método também já foi aplicado a dados eleitorais e a conjuntos científicos. Em nenhum desses casos ele prova fraude sozinho: aponta onde vale investigar.
O que isso tem a ver com numerologia
A lei de Benford é o melhor argumento contra a leitura ingênua de frequência. Quando alguém percebe que um dígito aparece demais em algum lugar e conclui que há um sentido oculto ali, vale lembrar que os números do mundo real já nascem desiguais. Um 1 que aparece muito pode ser apenas o 1 fazendo o que ele sempre faz.
O mesmo raciocínio explica por que coincidências impressionantes são esperadas e por que vemos o mesmo número em todo lugar depois que ele entra no nosso radar.
O que não dá para afirmar
A lei descreve tendência estatística em conjuntos grandes, e não diz nada sobre um número isolado. Um recibo que comece com 9 não é suspeito, e uma planilha que siga a curva não está por isso acima de dúvida. É uma ferramenta de triagem, e boa, desde que ninguém a trate como verédito.
